期望

• 定义：实验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和
• 反映随机变量平均取值的大小
• 线性运算：\(E(ax+by+c)=aE(x)+bE(y)+c\)
• 推广形式：\(E(\sum_{k=1}^{n} a_i x_i + c) = \sum_{k=1}^{n}(a_i E(x_i)) + c\)
• 函数期望：
  • f(x)是x的函数
  • 离散函数：\(E(f(x))=\sum_{k=1}^{n}f(x_k)P(x_k)\)
  • 连续函数：\(E(f(x))=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)p(x)dx\)
• 性质：
  • 函数的期望大于期望的函数，即\(E(f(x)) >= f(E(x))\)
  • 一般情况下，乘积的期望不等于期望的乘积
  • 如果X和Y相互独立，则\(E(xy)=E(x)E(y)\)

方差

• 度量随机变量和其数学希望之间的偏离程度
• 是一种特殊的期望
• 定义：\(Var(x)=E((x-(E(x))^2))\)
• 性质：
  • 变种：\(Var(x)=E(x^2)-(E(x))^2\)
  • 常数的方差为0
  • 方差不满足线性性质
  • 如果X和Y相互独立，则\(Var(ax+by)=a^2Var(x)+b^2Var(y)\)

import numpy as np 
arr = [1,2,3,4,5,6]
#求均值
arr_mean = np.mean(arr)
#求方差
arr_var = np.var(arr)
#求标准差
arr_std = np.std(arr,ddof=1)
print("平均值为：%f" % arr_mean)
print("方差为：%f" % arr_var)
print("标准差为:%f" % arr_std)

协方差

• 衡量两个变量线性相关性强度及变量尺度
• 定义：\(Cov(x,y)=E((x-E(x))(y-E(y)))\)
• 方差是一种特殊的协方差：
  • 当X=Y时，\(Cov(x,y)=Var(x)=Var(y)\)
• 性质：
  • 两个独立变量的协方差为0。因为此时独立的随机变量x、y满足：\(E[xy]=E(x)E(y)\)
  • 计算公式：\(Cov(\sum_{i=1}^{m}a_{i}x_{i}, \sum_{j=1}^{m}b_{i}y_{i})=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m}a_{i}b_{j}Cov(x_{i}y_{i})\)
  • 特殊情况：\(Cov(a+bx,c+dy)=bdCov(x,y)\)
• 理解：
  • 表示的是两个变量总体误差的期望
  • 如果两个变量的趋势一致，比如变量x大于自身期望且y也大于自身期望，那么两个变量x、y之间的协方差就是正值
  • 如果两个变量的趋势相反，比如变量x大于自身期望但是y小于自身期望，那么两个变量x、y之间的协方差就是负值

from numpy import array
from numpy import cov
x = array([1,2,3,4,5,6,7,8,9])
print(x)
y = array([9,8,7,6,5,4,3,2,1])
print(y)
Sigma = cov(x,y)[0,1]
print(Sigma)

# [1 2 3 4 5 6 7 8 9]
# [9 8 7 6 5 4 3 2 1]

# -7.5

相关系数

• 研究两个变量之间线性相关程度的量
• 为什么引入相关系数？
  • 协方差就是描述两个变量X、Y的相关程度的
  • 相同量纲下，协方差没有问题
  • 但是当x、y属于不同量纲时，协方差会在数值上表现出很大的差异
  • 因而引入了相关系数
• 定义：\(Corr(x,y)=\frac{Cov(x,y)}{\sqrt({Var(x)Var(y)})}\)
• 性质：
  • 取值范围在[-1, 1]，可看成无量纲的协方差
  • 值越接近于1，正相关性越强；越接近于-1，负相关性越强；等于0时，没有相关性。

from scipy import stats

# two sample rank test
def sig_spearman_corr(x,y):
    p=stats.spearmanr(x,y)[0]
    return p

def sig_pearson_corr(x,y):
    p=stats.pearsonr(x,y)[0]
    return p

参考

• 期望、方差、协方差及相关系数的原理理解和计算
• 深度学习500问-第一章 数学基础